Prawa Keplera w astronautyce

Teoria dotycząca praw Keplera:

Prawami Keplera nazywamy trzy prawa astronomiczne, odkryte przez Jana Keplera i opisujące ruch planet wokół Słońca. Kepler sformułował je w oparciu o dane obserwacyjne, pozostawione przez Tychona Brache, nadwornego astronoma cesarza Rudolfa II. Wynikało z nich jednoznacznie, że planety nie krążą wokół Słońca po okręgach, jak przyjmował Kopernik. Wierząc jednak w zasadniczą słuszność teorii Polaka, Kepler poszukiwał innej nieskomplikowanej krzywej, po której odbywa się ruch planet – kilka lat wytrwałych obliczeń i poszukiwań prowadzonych metodą prób i błędów (Kepler rozpoczął współpracę z Brachem w roku 1600) doprowadziło go do wniosku, że odpowiednią krzywą jest elipsa. Rezultaty swe opublikował w roku 1609 w dziele Astronomia nova ... (Nowa astronomia... – pełny tytuł księgi jest znacznie dłuższy). Po kolejnych kilku latach uzupełnił je trzecim prawem, opublikowanym w roku 1619 w Harmonices Mundi (Harmonia świata).

Były to prawa empiryczne, lecz ich znaczenie dla dalszego rozwoju fizyki trudno przecenić. Wiadomo dziś, że były one jedną z inspiracji, którymi kierował się Newton pracując nadstworzeniem swojego prawa powszechnego ciążenia

Pierwsze prawo Keplera

Pierwsze prawo Keplera stwierdza, że każda planeta Układu Słonecznego porusza się wokół Słońca po elipsie, w której jednym z ognisk jest Słońce.

Z własności elipsy wynika, że dla dwóch położeń planety, P₁ i P₂, spełnione jest

gdzie O to Słońce.

Z praw mechaniki wynika, że prawo to poprawnie opisuje ruch planety w układzie związanym ze Słońcem. W układzie inercjalnym zarówno planeta jak i samo Słońce wykonują ruchy po elipsach posiadających jedno wspólne ognisko. Ognisko to pokrywa się z centrum masy układu.

Elipsę można opisać na wiele sposobów, w astronomii najczęściej opisuje się elipsy podając ich wielką półoś (a) oraz mimośród (e), który określa stopień spłaszczenia elipsy (im e bliższe zeru, tym elipsa bliższa jest okręgowi). Gdy znamy długość odcinka c między środkiem, a jednym z ognisk to możemy napisać wzór na mimośród elipsy "e" równy:

e = c / a

Kopernik budując swój model systemu heliocentycznego opierał sie wciąż na idei kombinowania ruchów jednostajnych po okręgu. Wymogło to na nim zachowanie w modelu kilkudziesięciu małych epicykli. Dopiero Kepler zamieniając te okręgi na elipsy pozbył się koniecznosci wprowadzania epicykli.

Orbity planet w naszym układzie są w większości niewielkie. Poza Merkurym dla którego mimośród przekracza nieco wartość 0.2, eliptyczności orbit pozostałych planet są poniżej wartości 0,1.

Drugie prawo Keplera

Drugie prawo Keplera mówi, że w równych jednostkach czasu, promień wodzący planety poprowadzony od Słońca zakreśla równe pola. Wynika stąd, że w peryhelium (w pobliżu Słońca), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od Słońca).

Planeta w ciągu takiego samego czasu przebywa dłuższą drogę w pobliżu peryhelium, niż w pobliżu aphelium, czyli prędkość liniowa w pobliżu peryhelium jest większa niż w aphelium. Na przykład dla orbity Ziemi (mimośród e = 0,01672) prędkość liniowa Ziemi w peryhelium wynosi 30,3 km/s, zaś w aphelium 29,3 km/s.

Drugie prawo Keplera jest ściśle związane z zasadą zachowania momentu pędu. Siły grawitacyjne, jako oddziaływanie centralne, w układzie podwójnym nie wywołują momentów sił, zatem moment pędu układu zostaje zachowany. Prędkość polowa jest ściśle związana z momentem pędu planety

gdzie K to moment pędu planety, zaś m jest jej masą.

Rozpatrujemy planetę, która porusza się w polu grawitacyjnym Słońca, gdzie:
m - masa tej planety
M - masa Słońca
r - odległość tej planety od Słońca
T - okres obiegu planety wokół Słońca

Zakładamy, że planeta porusza się po okręgu, zatem siła dośrodkowa jest równa sile oddziaływania grawitacyjnego między tymi ciałami.

Trzecie prawo Keplera

Trzecie (nieuogólnione) prawo Keplera głosi, że stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca do sześcianu średniej arytmetycznej największego i najmniejszego oddalenia od Słońca jest stały dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym, co można zapisać wzorem:

gdzie:

T₁, T₂ - okresy obiegu dwóch planet

a₁, a₂ - średnie odległości tych planet od Słońca

np. okres obiegu Ziemi - 1 rok śr. odległość Ziemi od Słońca - 1 AU (jedn. astr.)

Uogólnione trzecie prawo Keplera [edytuj]

Uogólnione trzecie prawo Keplera mówi, że każde ciało Układu Słonecznego porusza się wokół wspólnego środka masy, co można zapisać wzorem:

gdzie:

a - średnia odległość danej planety od Słońca

G - stała grawitacji

m - masa danej planety

M_S - masa Słońca

Korzystając z uogólnionego trzeciego prawa Keplera można wyprowadzić prawo nieuogólnione zapisując prawo uogólnione dla dwóch planet i zakładając, że masa planet jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z masą Słońca.

Czwarte "prawo" Keplera

W rzeczywistości Kepler sformułował cztery prawa opisujące ruch planet, jednak według współczesnej metodologii naukowej czwarte obecnie nie jest prawem, a jedynie ciekawą zbieżnością. Mianowicie, w opublikowanej w roku 1596 książce Mysterium cosmographicum (Tajemnica kosmograficzna) Kepler stwierdził, że jeśli na sferze wyznaczonej przez orbitę Merkurego (która w dobrym przybliżeniu jest okręgiem) opiszemy ośmiościan foremny, to okaże się, że jest on wpisany w analogiczną sferę Wenus. Jeśli na tej sferze opiszemy dwudziestościan foremny, to będzie on wpisany w sferę Ziemi; kolejny dwunastościan foremny wpisany jest w sferę Marsa, czworościan foremny opisany na niej wpisany jest w sferę Jowisza, a opisany na niej sześcian wpisany jest w sferę Saturna.

Wymienione wyżej figury geometryczne należą do tzw. brył platońskich i dyskutowane są w ramach tradycyjnej geometrii, ale także Świętej Geometrii (ang. Sacred Geometry), która zakłada, że budowa świata opiera się u swych podstaw na zasadach i proporcjach geometrycznych wyznaczonych przez w/w bryły platońskie (w sumie jest ich pięć: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan). Święta geometria leży w centrum zainteresowania m. in. masonerii. Stąd też cyrkiel i węgielnica stanowią jej "logo".